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2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
    

文科数学
    

注意事项:
    

1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
    

2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
    

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．
    

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
    

1．已知全集,集合,则（    ）
    

A．    B．    C．    D．
    

2．设,则（    ）
    

A．    B．    C．    D．
    

3．已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是（    ）
    

A．    B．    C．    D．
    

4．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）
    

A．和    B．和2    C．和    D．和2
    

5．若满足约束条件则的最小值为（    ）
    

A．18    B．10    C．6    D．4
    

6．（    ）
    

A．    B．    C．    D．
    

7．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）
    

A．      B．      C．      D．
    

8．下列函数中最小值为4的是（    ）
    

A．      B．    
    

 C．      D．
    

9．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）
    

A．      B．      C．      D．
    

10．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）
    

A．      B．      C．      D．
    

11．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）
    

A．      B．      C．      D．2
    

12．设，若为函数的极大值点，则（    ）
    

A．      B．      C．      D．
    

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
    

13．已知向量，若，则_________．
    

14．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
    

15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
    

16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
    

三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
    

（一）必考题：共60分．
    

17．（12分）
    

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
    

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
    

（1）求，，，；
    

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
    

18．（12分）
    

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
    

（1）证明：平面平面；
    

（2）若，求四棱锥的体积．
    

19．（12分）
    

设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
    

（1）求和的通项公式；
    

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
    

20．（12分）
    

已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
    

（1）求C的方程;
    

（2）已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线斜率的最大值.
    

21．(12分)
    

已知函数．
    

（1)讨论的单调性；
    

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
    

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
    

22．[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
    

在直角坐标系中,的圆心为,半径为1．
    

（1)写出的一个参数方程;
    

（2)过点作的两条切线．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程．
    

23．[选修4-5:不等式选讲](10分)
    

已知函数．
    

(1)当时,求不等式的解集;
    

(2)若,求a的取值范围．