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2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
    

理科数学
    

注意事项：
    

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
    

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
    

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
    

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
    

1．设，则（    ）
    

A．             B．             C．              D．
    

2．已知集合，，则（    ）
    

A．                B．                 C．                D．
    

3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（    ）
    

A．             B．            C．           D．
    

4．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）
    

A．       B．         C．       D．
    

5．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ）
    

A．                B．                C．                D．
    

6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）
    

A．60种              B．120种             C．240种             D．480种
    

7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）
    

A．      B．       C．     D．
    

8．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）
    

A．                B．                C．               D．
    

9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（    ）
    

A．                      B．
    

C．                      D．
    

10．设，若为函数的极大值点，则（    ）
    

A．             B．              C．           D．
    

11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）
    

A．           B．            C．           D．
    

12．设，，．则（    ）
    

A．          B．          C．          D．
    

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
    

13．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
    

14．已知向量，若，则__________．
    

15．记的内角的对边分别为，面积为，，，则________．
    

16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）．
    

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
    

（一）必考题：共60分．
    

17．（12分）
    

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
    

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
    

（1）求﹔
    

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
    

18．（12分）
    

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且．
    

（1）求，
    

（2）求二面角的正弦值．
    

19．（12分）
    

记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
    

（1）证明：数列是等差数列;
    

（2）求的通项公式．
    

20．（12分）
    

设函数，已知是函数的极值点．
    

（1）求a；
    

（2）设函数．证明:．
    

21．（12分）
    

已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4．
    

（1）求p；
    

（2）若点P在M上，是C的两条切线，是切点，求面积的最大值．
    

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
    

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
    

在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
    

（1）写出的一个参数方程；
    

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
    

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
    

已知函数．
    

（1）当时，求不等式的解集；
    

（2）若，求a的取值范围．