2022湖南高考数学冲刺试卷及答案解析
    

数学（理工农医类）
    

一、   选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
    

1．   若a＜0，＞1，则          (D)
    

A．a＞1,b＞0     B．a＞1,b＜0    C. 0＜a＜1, b＞0   D. 0＜a＜1, b＜0
    

2．对于非0向时a,b,“a//b”的确良        （A）
    

A．充分不必要条件                B. 必要不充分条件
    

C．充分必要条件                  D. 既不充分也不必要条件
    

3．将函数y=sinx的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于       （D）
    

A．               B．         C.            D.
    

4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则                                                    [ B]
    

A          B
    

C         D
    

5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位                                                             [ C]
    

A  85             B 56            C 49            D 28  
    

6. 已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆  在区域D内
    

的弧长为                                                                [ B]
    

A               B             C          D
    

7．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）
    

A．2              B．3             C. 4           D. 5          
    

8.设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数
    

取函数=。若对任意的，恒有=，则         
    

A．K的最大值为2                       B. K的最小值为2
    

C．K的最大值为1                       D. K的最小值为1                     【D】
    

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
    

9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
    

10．在的展开式中，的系数为___7__(用数字作答)
    

11、若x∈(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为2.          
    

12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为
    

13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位 50 。
    

14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则         
    

（1）球心到平面ABC的距离为 12  ；
    

（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为   3  
    

15、将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)
    

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    

16.（本小题满分12分）
    

在，已知，求角A，B，C的大小。
    

解：设
    

由得，所以
    

又因此          
    

由得，于是
    

所以，，因此
    

，既
    

由A=知，所以，，从而
    

或，既或故
    

或。
    

17.（本小题满分12分）
    

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。         
    

（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
    

（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。
    

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件       ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=
    

（1）          他们选择的项目所属类别互不相同的概率
    

P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=
    

(2) 解法1  设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。
    

所以P（=0）=P（=3）==，
    

 P（=1）=P（=2）= =           
    

P（=2）=P（=1）==
    

P（=3）=P（=0）= =
    

故的分布是
    

	0	1	2	3
P

的数学期望E=0+1+2+3=2
    

解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，
    

i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且
    

P（）-（，）= P（）+P（）=+=
    

所以--,既，          
    

故的分布列是
    

18.（本小题满分12分）
    

如图4，在正三棱柱中，
    

D是的中点，点E在上，且。
    

（I）                       证明平面平面
    

（II）                     求直线和平面所成角的正弦值。         
    

解  （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面
    

又DE平面ABC，所以DEAA.
    

而DEAE。AAAE=A  所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。
    

（2）解法1  如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD，  ABDF          
    

又CDDF=D，所以AB平面CDF，
    

而AB∥AB，所以
    

AB平面CDF，又AB平面ABC，故
    

平面AB C平面CDF。
    

过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。         
    

连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。
    

由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，
    

CF=，AD==，DH==—，
    

所以 sinHAD==。
    

即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。
    

解法2  如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设
    

A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是
    

A(0,-1,0)， B（，0，0），  C（0，1，），  D（，-，）。
    

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）         
    

设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有
    

解得x=-y， z=-，
    

故可取n=(1，-，)。
    

所以，(n·)===。
    

由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。
    

19.（本小题满分13分）
    

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
    

  （Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
    

  （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
    

解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，
    

所以  
    

    （Ⅱ）  由（Ⅰ）知，
    

  令，得，所以=64
    

   当0<<64时<0，  在区间（0，64）内为减函数；         
    

当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
    

所以在=64处取得最小值，此时，
    

故需新建9个桥墩才能使最小。
    

20（本小题满分13分）
    

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和         
    

 （Ⅰ）求点P的轨迹C；
    

 （Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
    

   解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳
    

由题设
    

当x>2时，由①得
    

  化简得 
    

当时  由①得
    

  化简得                        
    

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1
    

（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），
    

B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.
    

当点P在上时，由②知
    

.                 ④
    

当点P在上时，由③知         
    

                   ⑤
    

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为
    

（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知
    

∣MF∣= 6 -     ∣NF∣= 6 -           
    

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)
    

由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -
    

因为当
    

当且仅当时，等号成立。
    

（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，
    

   设直线AF与椭圆的另一交点为E
    

   所以。而点A，E都在上，且
    

   有（1）知          
    

若直线的斜率不存在，则==3，此时
    

综上所述，线段MN长度的最大值为
    

21.（本小题满分13分）
    

对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有     
    

则称数列为B-数列
    

（1）          首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
    

请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题
    

判断所给命题的真假，并证明你的结论；
    

（2）          设是数列的前项和，给出下列两组论断；
    

A组：①数列是B-数列      ②数列不是B-数列
    

B组：③数列是B-数列      ④数列不是B-数列
    

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
    

判断所给命题的真假，并证明你的结论；
    

（3） 若数列都是数列，证明：数列也是数列。
    

解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是
    

因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=
    

因为所以即         
    

   故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。
    

（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列
    

      次命题为假命题。
    

     事实上，设，易知数列是B-数列，但
    

由的任意性知，数列是B-数列此命题为。
    

命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列
    

此命题为真命题
    

事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有
    

即。于是
    

所以数列是B-数列。
    

（III）若数列 {}是数列，则存在正数，对任意的有
    

注意到
    

同理：          
    

记，则有
    

因此 
    

      +
    

故数列是数列         
    

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