2022甘肃高考数学冲刺试卷及答案解析
    

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
    

1．若复数，则z2=   （    ）
    

 A．        B．       C．      D．
    

2．已知集合A=，B={x|x2-2x-3<0}，那么A∩(CRB)为    （    ）
    

 A．(-1，5)        B．(-1，3)       
    

 C．(-∞，-1) ∪[3，+∞)  D．[3，5]
    

3．与函数的图象相同的函数是  （    ）
    

 A. y = x-1     B. y =       C. y = |x-1|      D. y =
    

4．若曲线在点处的切线方程是，则  （    ）
    

 A．    B．    C．    D．
    

5．某个容量为的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4, 5）上的数据的频数为      （    ）
    

 A．70      B．       
    

 C．30      D．
    

6．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，
    

如果P（ξ<4）=0．3，那么n的值为     （    ）
    

 A．3                B．4                
    

 C．9             D．10
    

7．函数y =的最大值是       （    ）
    

 A．3              B．4              C．8            D．5
    

8．设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则   （    ）
    

 A．a < c < b　       B．b < c < a       C．a < b < c　　　   D．b < a < c
    

9．若与在区间（1，2）上都是减函数，则实数的取值范围是                                                           
    

        （    ）
    

 A．     B．      
    

 C．（0，1）  D．
    

10．已知函数，是的反函数，若（），则的值为                                               ????????????? ????????????? （    ）
    

 A． B．4 C．1 D．10
    

11．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （    ） A．a <0          B．a >0          ????????????? C．a <-1        ????????????? D．a >1
    

12．数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） =         （    ）
    

 A．            B．            C．           D．
    

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
    

13．已知函数f （x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，函数F（x） = a f （x）+bg（x） +2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F（x）在（－∞，0）上的最小值是            ．
    

14．等差数列{}中，，，则此数列的前15项之和是          ．
    

15．已知数列{}的前n项和（），那么数列{}的通项=      ．
    

16．若关于x的不等式2－>|x－a| 至少有一个负数解，则实数a的取值范围是          ．
    

三、解答题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
    

17．（本题10分）解关于x的不等式： （a＞0，a≠1）．
    

18．（本题10分）已知函数是奇函数，当x>0时，有最小值2，且f （1）．
    

 （Ⅰ）试求函数的解析式；
    

 （Ⅱ）函数图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
    

19．（本题12分）已知数列{an}中，a1=0，a2 =4，且an+2-3an+1+2an= 2n+1（），数列{bn}满足bn=an+1-2an．
    

 （Ⅰ）求证:数列{-}是等比数列；
    

 （Ⅱ）求数列{}的通项公式；
    

 （Ⅲ）求．
    

20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记．
    

 （Ⅰ）求的概率；
    

 （Ⅱ）若前两次均出现正面，求的概率．
    

21．（本题12分）已知函数对任意实数p、q都满足
    

 ．
    

 （Ⅰ）当时，求的表达式；
    

 （Ⅱ）设求；
    

 （Ⅲ）设求证：．
    

22．（本题14分）已知函数f （x） = ax3 +x2 -ax，其中a，x∈R．
    

（Ⅰ）若函数f （x） 在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
    

 （Ⅱ）直接写出（不需给出运算过程）函数的单调递减区间；
    

 （Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函数， x∈[-1, b]
    

      （b > -1），在x = -1处取得最小值，试求b的最大值．
    

参考答案
    

一、选择题：（每小题5分，共60分）
    

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	D	D	A	C	D	B	D	D	A	C	B

二、填空题：（每小题5分，共20分）
    

13．-1；  14．180；  15．；  16．
    

三、解答题：（共70分）
    

17．（本题10分）
    

 解：原不等式等价于……①   ……………1分 ① 当时，①式可化为
    

 即   亦即
    

 ∴ x > a+1                                       ………………5分 
    

 ②当时，①式可化为
    

 即    亦即    
    

 ∴                                ………………9分 
    

 综上所述，当时，原不等式的解集为；
    

 当时，原不等式的解集为． ．………………10分
    

18．（本题10分）
    

 解：（Ⅰ）∵ f（x）是奇函数    ∴f（―x） =―f（x）
    

    即
    

                   ……………………1分
    

当且仅当时等号成立．则    ……2分
    

由得 ，即，
    

，解得；
    

又 ，            
    

           ……………………………………………5分
    

（Ⅱ）设存在一点（x0，y0）在y=f （x）图象上，
    

则关于（1，0）的对称点（，―y0）也在y =f （x）图象上，  …………6分
    

则 解得：或
    

∴函数f （x）图象上存在两点和关于点（1，0）
    

对称．                         …………………………………10分
    

19．（本题12分）
    

解：（Ⅰ）由 an+2-3an+1+2an= 2n+1  得 （an+2-2an+1）-（ an+1-2an）= 2n+1；
    

即  bn+1-bn = 2n+1，而 b1=a2-2a1=4， b2 =b1+22=8；
    

∴ { bn+1-bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分
    

（Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn = 2n+1， b1=4，
    

∴ bn = （bn-bn-1）+ （bn-1-bn-2）+···+（b2-b1） + b1
    

     =2n + 2n-1 +···+22 +4 = 2n+1．             ………………………6分
    

即 an+1-2an=2n+1，∴ ；
    

∴ {}是首项为0，公差为1的等差数列，
    

则 ，∴．         ………………………9分
    

（Ⅲ） ∵ ，
    

      ∴．    ………………………12分
    

20．（本题12分）
    

解：（Ⅰ），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为
    

则；         ………………………6分
    

（Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为．
    

则．  ………12分
    

21．（本题12分）
    

解：（Ⅰ）由已知得 
    

．         ………3分
    

（Ⅱ）由（Ⅰ）知；
    

于是 =；
    

故 =6
    

=．                       ………………………7分
    

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知 ：　，设
    

则
    

  ．
    

两式相减得+…+
    

∴ ．  ……………………12分
    

22．（本题14分）
    

解：（Ⅰ）解法一：
    

依题意知方程在区间（1，2）内有不重复的零点，
    

由得 
    

∵x∈（1，2），  ∴
    

∴；
    

令  （x∈（1，2）），则，
    

∴在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为，
    

故a的取值范围是．             ………………………5分
    

解法二：
    

依题意知方程即在区间（1，2）内有不重复
    

的零点，
    

当a=0时，得 x=0，但0（1，2）；
    

当a≠0时，方程的△=1+12a2>0，,必有两异号根，
    

欲使f （x） 在区间（1，2）上不是单调函数，方程在（1，2）内一定有一根，设，则F（1）·F（2）<0，
    

即  （2a+2）（11a+4）<0，解得 ，
    

故 a的取值范围是 ．     
    

（解法二得分标准类比解法一）
    

（Ⅱ）函数g （x） 的定义域为（0，+∞），
    

当 a≥0时，g （x）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；
    

当 a<0时，g （x）的单调递减区间是  ………………8分
    

（Ⅲ）；
    

依题意 在区间[-1, b]上恒成立，
    

即      ①
    

当x∈[-1, b] 恒成立，
    

当 x=-1时，不等式①成立；
    

当 -1< x ≤b时，不等式①可化为
    

    ②
    

令 ，由a∈（-∞,-1]知，的图像是
    

开口向下的抛物线，所以，在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得，
    

而，
    

∴不等式②恒成立的充要条件是，
    

即，
    

亦即   a∈（-∞,-1]；
    

当a∈（-∞,-1]时，，
    

∴ （b >-1），  即 b2+b-4 ≤ 0；
    

解得 ；
    

但b >-1， ∴；
    

故 b的最大值为，此时 a =-1符合题意．     ……………14分